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Kein Mathelehrer (Gast) #46
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Antwort auf Beitrag ID 8717
Hallo naja,

du hast völlig Recht, dass der 400 Jahreszyklus genau 20871 Wochen und keinen Rest  enthält.
Und natürlich fängt der Zyklus immer mit demselben Wochentag an! (Wäre das nicht der Fall, hätte wir nach 400 Jahren ja gar keine genaue Wiederholung und müssten den Zyklus größer anlegen. Deine alternativen Überlegungen sind also überflüssig.)

Ehrlich gesagt, verstehe ich nicht ganz, worauf du mit deinen umfangreichen - und etwas verworrenen - Ausführungen hinaus willst.
Deine Frage war doch
Wie häufig haben wir denjenigen 13. Tag in einem Jahr, der auf dem Freitag fällt?
Meine ursprüngliche Antwort war 1/7.
Bauschi hat mich dann dankenswerter Weise darauf hingewiesen, dass das nicht korrekt ist und dass man den kompletten 400 Jahreszyklus mit in die Rechnung einbeziehen muss.
Danach beträgt die Antwort auf deine Frage:
Der 13. Tag in einem Jahr fällt durchschnittlich alle 6,70 Jahre auf einen Freitag.
oder:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der 13. Tag in einem Jahr auf einen Freitag fällt, beträgt 14,5% (58/400).

Wie du auf 12/7 kommst, ist mir ein absolutes Rätsel. Schon eine simple Kontrollüberlegung zeigt doch, dass das unmöglich das Ergebnis sein kann. Danach wäre ja jeder 13. Januar ein Freitag!
Auch deinem angedeuteten Rechenweg kann ich nicht wirklich entnehmen, was du mit 12/7 eigentlich berechet haben willst.

Die Schilderung deiner Rechenweise (und der des koreanischen Mathelehrers) ist nicht wirklich klar und systematisch, so dass sie für mich nicht nachvollziehbar ist. Allerdings lassen sich zu deinen Ausführungen zwei Dinge sagen:

Als erstes lichten wir den mathematischen Nebel etwas:
Weder das Ungerechtigkeitsgefühl, noch die Abneigung gegen das Papstsystem, noch die Diskrepanz zur Erdbewegung sind mathematische Überlegungen und tragen allesamt zur Lösung des Problems nichts bei.
Für die ersten beiden ist das offensichtlich. Die Erdbewegung könnte bei der Betrachtung des astronomischen Jahres ein Argument sein. Deine Frage bezog sich aber auf das Kalenderjahr. Denn nur in Bezug auf das Kalenderjahr macht die Frage nach einem „Freitag, der 13. Januar“ überhaupt Sinn. Was wäre denn bitte ein „Freitag“ im astronomischen Jahr? Das Auftreten der Wochentage hat mit der Erdbewegung einfach nichts zu tun.

Als zweites beseitigen wir die geistige Verwirrung:
Die Betrachtung eines bestimmten Jahres – egal wie weit es in der Zukunft liegt – ist eine ganz andere Aufgabe und  lässt sich stochastisch nicht sinnvoll lösen. Egal wie weit in die Zukunft du gehst, die Verteilung der Tage steht doch fest. Für das Jahr 27369281 A.D. gilt nach dem gültigen Gregorianischen Kalender Folgendes:
Natürlich hat dieses Jahr 12 Monate und eine Woche hat 7 Tage (Ich verstehe nicht, warum du das betonst. Das gilt definitionsgemäß immer.) Das Jahr 27369281 A.D. fängt mit einem Mittwoch an und hat 365 Tage. Der 13. Tag dieses Jahres ist somit "Montag, der 13. Januar". Wo bitte soll da eine Wahrscheinlichkeit ins Spiel kommen?

Du machst da einen schweren Denkfehler. Die wichtigste Lektion der Stochastik ist: Lerne zwischen determinierten und stochastischen Zusammenhängen zu unterscheiden! Die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann man nur sinnvoll anwenden, wenn es sich um ein Zufallsexperiment handelt. Bei der Betrachtung eines bestimmten Jahres liegt aber ein determinierter Zusammenhang vor, der von den Gesetzen des Gregorianischen Kalenders bestimmt wird.

Ein Beispiel:
Heute ist Donnerstag. Natürlich hat eine Woche immer 7 Tage hat und jeder Wochentag ist somit gleich „wahrscheinlich“. Aber die Frage, welcher Wochentag morgen ist, ist einfach keine Frage von Wahrscheinlichkeiten. Es handelt sich um einen determinierten Zusammenhang, da die Reihenfolge der Wochentage feststeht. Morgen ist Freitag. Das steht notwendig fest und hat nicht etwa eine Wahrscheinlichkeit von 1/7. Daran ändert sich auch nichts, wenn ich weiter in die Zukunft gehe. Morgen in 400000 Jahren ist auch Freitag.

Es sei denn natürlich, die Koreaner hätten bis dahin die Weltherrschaft ergriffen und die Regeln der Mathematik und  des Kalenders geändert, um ihr Gesicht zu wahren. Allerdings könnten sie auch dann einen determinierten Zusammenhang nicht in einen stochastischen verwandeln, egal wie sie den Kalender gestalten ;-)

P.S.:
In Korea scheint ja die Lösung von mathematischen Problemen genauso „präzise“ zu sein wie die von religiösen Problemen. Langsam beginne ich den Titel deines Beitrags vom 18.07. zu verstehen :-)
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Bauschi #47
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@kein Mathelehrer: So ganz hab ich die Ausführungen von naja auch nicht verstanden, und wie naja dann auf 12/7 gekommen ist ;)
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EddyMI #48
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Die Wahrscheinlichkeit, dass der 13. Tag in einem Jahr auf einen Freitag fällt, beträgt 14,5% (58/400).
Ähm... kleine Bemerkung am Rande: in diesem Zusammenhang von Wahrscheinlichkeiten zu sprechen, ist, so denke ich, etwas fehl am Platze. Ich würde ehr von einem "Verhältnis" oder "der Häufigkeit des Auftretens" sprechen, denn es ist ja nicht so, dass jeden Monat neu gewürfelt wird, ob es eine Freitag, den 13. gibt oder nicht.
Genauso, wie mann eine Sonnen- oder Mondfinsternis vorher berechnen kann, so kann man auch, nach den maßgeblichen Vorgaben des Kalenders, berechnen, wann es einen Freitag, den 13. gibt.
Um von Wahrscheinlichkeiten zu sprechen müsste das Prinzip des Zufalls Teil der Grundlagen sein, was beim Kalender, systembedingt, nicht zutrifft.

Gruß aus Münster

Ewald
Freundliche Grüße aus Münster, Ewald
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Bauschi #49
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in gewissermaßen hast du Recht... Aber wenn du dir irgendein jahr zufällig raussucht und dann wissen willst, ob das nächste Jahr einen Freitag, den 13. Januar hat, dann kannst du mit wahrscheinlichkeiten rechnen ;)
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Kein Mathelehrer (Gast) #50
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Antwort auf Beitrag #48
@EddyMI:
Du hast völlig Recht, es wird eben gerade nicht für jeden Monat neu gewürfelt.
Genau darauf wollte ich mit der Unterscheidung zwischen stochastischen und determinierten Zusammenhängen hinweisen. Und das man das Ereignis berechnen kann, hab ich ja gerade an najas Beispiel bewiesen.

Allerdings ist es durchaus angebracht, in unserem Fall von Wahrscheinlichkeit zu sprechen. Mathematisch kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Grenzwert seiner relativen Häufigkeit auffassen, so dass dein Einwand nicht wirklich ein Einwand ist.

Was das Zufallselement angeht, stimme ich dir zu:  Man muss sich sorgfältig klar machen, ob ein Zufallselement eine Rolle spielt und worin genau dieses besteht (da scheint bei naja etwas Verwirrung zu herrschen). Ich würde das entsprechende Zufallsexperiment, das najas Frage adäquat abbildet, wie folgt formulieren:

Wir "würfeln" genau ein einziges Mal, um aus der Menge aller möglichen Jahre eines zufällig auszuwählen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dieses eine zufällig ausgewählte Jahr einen "Freitag, der 13. Januar" enthält ? (So interpretiert wohl auch Bauschi die Frage)

Obwohl also der Kalender eine Rolle bei der Lösung der Aufgabe spielt, ist hier - wie von dir zu Recht gefordert -
das Prinzip des Zufalls Teil der Grundlagen
so dass man sehr wohl von Wahrscheinlichkeit sprechen kann und sogar muss. Denn mit "Häufigkeit des Auftretens" oder "Verhältnis" kannst Du najas Frage nicht beantworten.
naja #51
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Wenn einer in dem Papstsytem bleiben muss,
soweit er vom Freitag oder irgendeinen Tag spricht,
soweit er das auf einem von europäischen formuliert,
wäre meine Frage schon problematisch, was mir bewusst war,
als ich mit einem deutschen Gymnasialmathematiker darüber diskutierte,
ausser dem Namen des Papst und näheren Kunden(danke, Bauschi).

ich würde eher aber als Alchemiker in einem abstrakten Monat bleiben,
der natürlich nicht jedesmal neu gewürfelt wird,
sondern im Rahmen eines Jahres mit einander zusammenhängt,
was noch ein System bilden könnte. Welches? ich weis nicht. Das Ergebnis ist gleich.
Je nach dem (Teil)System kann dasjenige Jahr, das den 13. Freitag mehr (zwei oder drei, oder sogar viermals) hat, häufiger kommen, als andere. Ja, unter einem System, wobei schon die Determiniertheit vom inneren Zusammenhang gilt. Das ist klar geworden. Allmählich ist es mir aber mühesam geworden, auf Deutsch  zu schreiben. Wenn es aber ein teil des ganzen Systems wäre, etwa, wenn  die tage von 400 Jahren mit 7 nicht aufgehen würde, deshalb 2800 Jahren ein symmetrisches System ausmachen würden...

Kein Mathelehrer's Meinung insbesondere von "würfeln ein einziges Mal" ist ähnlich wie meine, aussser dem Vorurteil, dass Koreaner dem kulturellen Imperialismus empfindlich seien. Mein Vorurteil wäre spiegelbildlich umgekehrt.

Meine zweite Frage hat sich auf einen anderen Terminus ausgerichtet.
Ein Jahr hat den 13. Freitag durchschnittlich mindestens einmal. und zwar abstrakt und genau 12/7 in einer abstrakten Kalenderwelt, wenn sie auch 7 Wochentage und 12 Monate hat. Es ist dann begrifflich - nicht nur im sinne der Determiniertheit in einem System - keine Wahrscheinlichkeit mehr.
naja #52
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Betreff: Bei der internationalen mathematischen Olympiade
Aufgabe 3. In einem mathematischen Wettbewerb sind einige Teilnehmende miteinander
befreundet. Freundschaft beruhe auf Gegenseitigkeit. Eine Gruppe von Teilnehmenden
heiße Clique, wenn je zwei von ihnen befreundet sind. (Insbesondere ist jede Gruppe von
weniger als zwei Teilnehmenden eine Clique.) Die Gr¨oße einer Clique ist die Anzahl ihrer
Mitglieder. Die maximale Gr¨oße einer Clique in diesem Wettbewerb sei gerade.
Man beweise, dass die Teilnehmenden so auf zwei R¨aume aufgeteilt werden k¨onnen, dass
die maximale Gr¨oße einer Clique in einem Raum gleich der maximalen Gr¨oße einer Clique
im anderen Raum ist.

Wenn die Anzahl der grössten Clique bei dieser Olympiade tatsächlich ungerade wäre, wollt ihr diese Aufgabe nicht annehmen? Plötzlich bin ich darauf neugierig geworden, welche Ergebnisse deutsche Kinder dabei gehabt haben.
Kein Mathe-Lehrer (Gast) #53
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Hallo naja!

Ich bin kein Mathe-Lehrer und auch kein Mathe-Priester. Daher interessiere ich mich wenig für Lernerfolge oder Missionserfolge. Mein Interesse bezog sich vielmehr auf die Lösung zu einem ganz konkreten Problem. Dank Bauschi haben wir jetzt eine klare und überzeugende Lösung zu diesem Problem. Ein weitergehendes mathematisches Interesse habe ich eigentlich nicht. Und an Bürgerkriegen oder Kreuzzügen egal ob religiöser oder mathematischer Art bin ich schon gar nicht interessiert.

In deinem Beitrag führst du wieder eine Fülle von Gesichtspunkten an: Papstsystem – europäisch – abstrakter Monat - Teilsystem – symmetrisches System – abstrakte Kalenderwelt.

Abgesehen von einem diffusen Widerwillen gegen unsere Lösung kann ich diesen Ausführungen allerdings nicht wirklich entnehmen, worauf du eigentlich hinaus willst. Ich kann nicht erkennen, dass du einen Fehler in unserer Rechnung aufgezeigt hast (die oben erwähnten Gesichtspunkte haben ja mit der Rechnung schlicht nichts zu tun). Ich kann auch nicht erkennen, dass du einen anderen Lösungsweg angeboten hast.

Was willst du eigentlich sagen?
Willst du überhaupt etwas sagen oder bist du nur mit der Gesamtsituation unzufrieden?
Hältst du unsere Lösung für falsch? (Warum?)
Hast du eine bessere Lösung? (Welche?)

Nach einer Bemerkung von dir war ich schon bereit, die Verworrenheit deiner letzten Beiträge weniger als Ausdruck deiner Denkprozesse und vielmehr als Symptome deiner Erschöpfung aufzufassen. Ich hatte schon Angst, die Diskussion hätte sich verselbständigt und wir hätten dich mit mathematischen Argumenten erschöpft, wo du eigentlich nur eine einfache Alltagsantwort auf eine einfache Alltagsfrage wolltest (so etwas soll ja schon vorgekommen sein :-) Aber jetzt stellst du gleich eine zweite und sogar eine dritte mathematische Frage.

Was soll man davon halten?

Entweder war das mit der Erschöpfung nicht so schlimm und du hast nun doch vertieftes Interesse an mathematischer Diskussion (dann solltest Du aber erst deine zweite Aufgabe korrekt lösen, bevor du eine dritte stellst)

Oder es handelt sich um ein Ablenkungsmanöver, das von deinen Problemen bei der ersten Aufgabe ablenken soll (dann solltest du es noch einmal versuchen, denn es war nicht gerade subtil)

Oder es ist ein verzweifelter Versuch der Ehrenrettung (dann ist dir leider nicht zu helfen).

Wie dem auch sei, ich bin auch kein Mathe-Prophet und kann dir leider nicht sagen, zu welchen Ergebnissen „deutsche Kinder“ bei deiner dritten Aufgabe gekommen sind. Allerdings kann ich dir sogar gleich zwei Lösungswege anbieten, die dem deutschen Lösungsweg ohnehin überlegen sein dürften.

Der „östliche“ Lösungsweg:
Eine Lösung  kann man als Lösung einer konkreten, vorgegebenen Aufgabe verstehen. Das ist allerdings eine beschränkte Sichtweise. Die Bedeutung einer Lösung geht weit über die vorgegebene Aufgabe hinaus und ist daher viel wichtiger als die konkrete Aufgabe. Jede Lösung enthält – völlig unabhängig von der konkreten Aufgabe– eine tiefere Wahrheit und Weisheit. Die Aufgabe ist nur der Anlass zur Reflexion über die Lösung. Die jeweilige Aufgabe, die gerade auf die Lösung bezogen wird, ist somit nur ein mehr oder weniger geeignetes Mittel, um diese tiefere Wahrheit und Weisheit zu erkennen. Die Lösung  kann daher niemals auf der Basis des durch die Aufgabe vorgegebenen Bezugsystems kritisiert oder gar widerlegt werden.

Hat man das eingesehen, erübrigt sich ein Beweis und wäre sogar schädlich.
q.e.d.


Der „koreanische“ Lösungsweg:
Es gibt eine unendliche Menge an Möglichkeiten, einen Beweis zu führen. Nicht alle Beweisführungen sind jedoch schlüssig. Die Lösungsmöglichkeiten werden durch die gestellte Aufgabe erheblich eingeschränkt. Wir können jedoch trotzdem zu jedem gewünschten Ergebnis kommen, indem wir die Aufgabe auf der Basis der gewünschten Lösung kritisieren. Ein eindeutiges Bezugssystem für die Kritik ist dabei nicht sinnvoll. Das Bezugssystem kann und soll vielmehr beliebig gewählt und gewechselt werden, solange es hilft, die Aufgabe in besseren Einklang mit der vorgesehenen Lösung zu bringen.

Grundsätzlich ist es schon falsch, bei der Aufgabenstellung nur auf die Teilnehmer des mathematischen Wettbewerbs abzustellen. Abgesehen davon, dass eine solche Aufgabenstellung nicht mit der Wirklichkeit übereinstimmt, werden durch diese Art der Aufgabenstellung die Lösungsmöglichkeiten unangemessen eingeschränkt. Außerdem ist die Betrachtung der Freundschaft unangemessen konkret. Man muss vielmehr von der Gegenseitigkeit abstrahieren, um eine angemessene Lösung zu ermöglichen. Es kann auch nicht sein, dass man gezwungen wird, im „System der Internationalen Mathematik Olympiade“ zu bleiben, nur weil man Teilnehmer auf zwei Räume aufteilt. Schließlich darf man nicht eine Clique von der anderen Clique unterscheiden, sondern muss das Problem vielmehr auf zwei „Durchschnitts-Cliquen“ beziehen. Ansonsten müssten wir mit dem Ungerechtigkeitsgefühl leben, dass hier Cliquen zu Lasten der Individuen bevorzugt werden.

Mit all diesen notwendigen Korrekturen versteht es sich von selbst, dass jede beliebige Lösung möglich ist.
q.e.d.

Kommst du nun über deinen mathematischen Misserfolg hinweg oder wirst du jetzt mit einer vierten, fünften … Aufgabe aufwarten, bis du endlich einen Punktsieg davon tragen kannst?

Das wäre auf die Dauer doch etwas ermüdend!

Falls das also dein Plan sein sollte, schlage ich ein Forum zur mathematischen Früherziehung des Nachwuchses vor. Das scheint mir sowohl aussichtsreicher als auch angemessener :-)
naja #54
Benutzertitel: naja
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sorry, ich bin zu spät erschienen.
Mittlerweile war ich viel unterwegs.
zu viel, das Gesicht zu retten, das aber kaum in Gefahr geraten ist.

Um Misverständnis zu vermeiden:
1. die 3. Aufgabe richtet sich auf die Kinder aus, die daran teilnahmen.
aber auf niemande(n) von uns. also, ich fand es eigentlich so geschrieben. es ist nur die Fragenummer.
Niemand von uns hat natürlich keine Aufgabe auf diesem Forum.
Es gäbe, wenn überhaupt, nur meine Bitte.
2. Meine Lösung ist schon gezeigt.
Ich könnte ein freundlicherer und klein karierter Tutor gewesen sein,
wenn ich alleine sprachlich den Gedanke gut formuliert und Tabelle dafür aufladen könnte.
eine sich nachvollziende Gesamtschau ist von Bedeutung her leider schon vorbei.
Ich lasse aber ein Problem offen bleiben, ob wir das Niveau und Menge unseres Wissen zuerst bestimmen müssen, wenn eine stochastische Frage zu lösen ist, ohne dass ein Mathe nur mit entzaubertem Würfel oder im Rawls'schem Beutel spielen müsste.

Jedenfalls ist die Kommunikation schief gelaufen.
Es kann schlimm, aber auch nicht schlimm sein, wenn wir das warum denken.
etwa Vorurteil, dass Koreaner nicht ernst oder logisch seien,
oder dass deutscher Michel von der Vergangenheit angeheftet sei?
Oder weil ein Pisaro und ein Chortes mit gregorianischer Mission angekommen seien?

Nein, mangels meiner Deutschkenntnisse.
Es war trotzdem und deswegen gutes Experimet für einander.

Für diese Darstellung muss ich meine Trinkenfreunde zum Bier einladen,
weil ich versprach und wettete, dass ich Internetfasten leisten könne.

Ciao ;-)
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